Jika [tex]m[/tex] dan [tex]n[/tex] adalah bilangan bulat positif yang memenuhi persamaan [tex]3m^3=5n^5[/tex], maka nilai terkecil yang mungkin dari [tex]m+n[/tex] adalah ... (pilih salah satu jawaban yang tepat)
(A) 180
(B) 450
(C) 720
(D) 810
(E) 630
Jawab:
Nilai terkecil yang mungkin dari m + n adalah 720.
Penjelasan dengan langkah-langkah:
3 dan 5 bilangan prima. Karena pangkat dari m dan n adalah bilangan ganjil dan prima, maka m dan n harus dalam bentuk perkalian 3 dan 5.
Kita ambil [tex]m=3^a5^b[/tex], dan [tex]n=3^c5^d[/tex], dengan a, b, c, d ∈ ℕ.
[tex]3m^3=5n^5[/tex]
[tex]\implies 3\left(3^a5^b\right)^3=5\left(3^c5^d\right)^5[/tex]
[tex]\implies 3^{3a+1}5^{3b}=3^{5c}5^{5d+1}[/tex]
[tex]\implies 3a+1=5c[/tex] dan [tex]5d+1=3b[/tex]
Tujuannya adalah meminimumkan nilai m dan n. Maka, a, b, c, dan d harus sekecil mungkin.
- 3a+1 = 5c
⇒ 3a ≡ (–1) (mod 5)
⇒ a = 3 karena 9 ≡ (–1) (mod 5)
⇒ 5c = 9–(–1) = 10
⇒ c = 2 - 5d+1 = 3b
⇒ 3b ≡ 1 (mod 5)
⇒ b = 2 karena 6 ≡ 1 (mod 5)
⇒ 5d = 6–1 = 5
⇒ d = 1
Jadi,
- m = 3³×5² = 3×15² = 675.
- n = 3²×5 = 45.
∴ m + n = 675+45 = 720.
nilai terkecil yang mungkin dari [tex]m+n[/tex] adalah 720.
opsi C
Pembahasan :
karena pilih salah satu jawaban yang tepat maka:
coba m+n = 720
m = 720 - n
3m³ = 5n⁵
3(720 - n)³ = 5n⁵
n = 45 -----------> bilangan bulat positif
m = 720 - n
= 720 - 45
= 675 ----------> bilangan bulat positif
[answer.2.content]
